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对集合的一点新认识

时间:2024-07-26 16:25:09
对集合的一点新认识[本文共946字]

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摘要  空集(Ø)是一类特殊集合,在集合研究中处于基础地位。本文运用逻辑演绎方法,从理论上通过对空集的重新认识阐述,叙述了空集的现行概念、与非空集(Ø)关系及悖论性;初步定义“嵌套集”的相关概念及推广。

关键词】:   空集;悖论性;嵌套性;循环节

 

一、对空集(Ø)的认识

1.空集(Ø)的现有定义

不含任何元素的集合称为空集,记作Ø

2.空集(Ø)与非空集(Ø)之间的关系

现行教材的规定:

空集(Ø)是一切集合的子集;空集(Ø)是一切非空集(Ø)的真子集。

空集(Ø)与非空集(Ø)之间定义了2种关系,即“子集”,“ 真子集”关系;或Ø C Ø    Ø C Ø

  3.悖论性,“空集的二重性”

若给定空集(Ø)与集合A={12Ø},那么存在如下命题:

IØ A ,理由:集合的定义;

IIØ C A Ø C  A,理由:空集的性质(规定)。

前者反映集合与元素之间关系的唯一性;要么属于,要么不属于;后者反映集合与集合之间关系的明确性,定义出“包含”、“不包含”、“真包含”等意义。

由此说明空集(Ø)的二元性:在同一条件下,既是集合又是元素,从而说明集合、元素概念的矛盾性(并不完备)。

二、对非空集(Ø)的认识

给定2个集合A={12}B={12A}。试确定二者之间的关系。显然,从集合与元素之间的关系出发,有A B;若从集合与集合之间的关系考虑,AB之间满足“真包含”关系,即B C A。前者肯定了集合与元素之间的关系,后者肯定了集合与集合之间的关系。那么在同一条件下集A与集B究竟应该明确如何关系呢?目前中学教材尚无定论。当问题出现时,老师和学生就不好把握。

三、“属于”“  ”,“子集”“ C ”,“真子集”“ C  ”在同一条件下的地位分析

    [例证]:给定集合AB

A={12}

B={12A}

从现有的教材我们可以看出,集合与元素之间的从属关系在前,集合与集合之间的(真)子集关系在后。这2种关系是相对独立的。

讨论:

1O.如果肯定了A    B,那么就否定了AB的子集关系;

2O.如果肯定了A C B,则否定了A B,也就是不能肯定AB的从属关系,进而否定了集合的定义。

分析:

由于集合与元素之间的从属关系在前,是铺垫、是基石,因而先要作出肯定。为了避开或解决它们之间的矛盾,排除以子集为元素的情况。我们规定A C B<=>任意a A,a B, A <?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" /> B,这样就明确了AB资集关系的唯一性。

四、嵌套集

定义集合A={1,2,B},B=A.A为嵌套集。其中{12}为嵌套集的循环节

例证推演:

设集合A=12B,B=A;则集A可作如下的推演,

A={1,2,B}={1,2,{1,2,B}}={1,2{1,2{1,2,B}}}=……

这里集A中存在嵌套元素B

[特例]

考察数列{an, an= (n 个“ ),求an→?(n→ ).

解法一:利用代数方程求解

A= A=an 则有A=B(n→ )。注意,这里A=B是隐含条件;

A= 变形得A2=2B,利用A=B,求出A=2.

 

解法二:利用等比数列性质公式求值

an= 2[ ]等比数列{an}的首项和公比都是1/2,无穷项之和S=1,因此an→2  (n→ ) .于是得到 =2.

从以上两种证法比较看出,利用代数方程求解(嵌套分离)方法较为简单。

像这种循环根式如上例 化简都可以通过循环节来建立代数方程求解。

思 考:

根式化简

T1:  (提示:由A2=aA得到A=a

 

T2: (提示:由A4=223B得到A=

 

T3: (提示:由A6=233B得到A=  

 

求解循环根式重要的是找出循环节;如T1,循环节 T2, 循环节 T3,循环节 。然后建立代数方程求解。

 

作者:老**职业技术学校 陈中林

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